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Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung viskoser Fluide und bilden gemeinsam mit der Kontinuitätsgleichung die Grundlage der modernen Strömungsmechanik sowie nahezu aller CFD-Solver.
Eigenschaft
Wert
Fachgebiet
Strömungsmechanik
Kategorie
Grundlagen
Relevanz
⭐⭐⭐⭐⭐
Anwendungen
CFD, Offshore, Schiffbau, HVAC, Brandschutz
Voraussetzungen
Kontinuumsmechanik, Newtonsche Fluide
Die Navier-Stokes-Gleichungen ergeben sich unmittelbar aus der Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes
∑ F ⃗ = m ⋅ a ⃗ ∑ F = m ⋅ a
auf ein infinitesimal kleines Fluidelement.
Sie beschreiben die Erhaltung des Impulses.
Gemeinsam mit der Kontinuitätsgleichung bilden sie das grundlegende Gleichungssystem der Strömungsmechanik.
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0
Sie beschreibt die Massenerhaltung .
Für ein Newtonsches Fluid lautet die Impulsgleichung
ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = − ∇ p + ∇ ⋅ τ + ρ g ρ ( ∂ t ∂ u + u ⋅ ∇ u ) = − ∇ p + ∇ ⋅ τ + ρ g
mit
Symbol
Bedeutung
ρ ρ Dichte
\mathbf
Geschwindigkeit
p p Druck
\boldsymbol
Spannungstensor
g g Schwerebeschleunigung
Für Newtonsche Fluide gilt
τ = μ ( ∇ u + ( ∇ u ) T ) − 2 3 μ ( ∇ ⋅ u ) I τ = μ ( ∇ u + ( ∇ u ) T ) − 3 2 μ ( ∇ ⋅ u ) I
Einsetzen ergibt die vollständige Navier-Stokes-Gleichung.
ρ = c o n s t . ρ = c o n s t .
konstante Viskosität
Newtonsches Fluid
Aus
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 ∂ t ∂ ρ + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0
folgt
∇ ⋅ u = 0 ∇ ⋅ u = 0
Die Geschwindigkeit besitzt also keine Divergenz .
Damit vereinfacht sich die Impulsgleichung zu
ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = − ∇ p + μ ∇ 2 u + ρ g ρ ( ∂ t ∂ u + u ⋅ ∇ u ) = − ∇ p + μ ∇ 2 u + ρ g
Dies ist die Gleichung, welche von den meisten inkompressiblen CFD-Solvern verwendet wird.
Term
Bedeutung
\frac{\partial\mathbf u}
lokale Beschleunigung
u ⋅ ∇ u u ⋅ ∇ u konvektive Beschleunigung
− ∇ p − ∇ p Druckkräfte
μ ∇ 2 u μ ∇ 2 u viskose Reibung
ρ g ρ g Volumenkräfte
Typische inkompressible Solver
Solver
Software
icoFoam
OpenFOAM
simpleFoam
OpenFOAM
pisoFoam
OpenFOAM
pimpleFoam
OpenFOAM
Fluent Pressure-Based Solver
ANSYS Fluent
CFX
ANSYS CFX
Die inkompressible Form ist nur gültig für
geringe Mach-Zahlen (Faustregel: Ma < 0,3 )
konstante Dichte
Newtonsche Fluide
Für kompressible Strömungen muss die vollständige Form verwendet werden.
Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden unter anderem eingesetzt für
Rohrströmungen
Schiffshydrodynamik
Offshore-Strukturen
Rauchströmungen
Lüftungstechnik
Wasserbau
Pumpen
Wärmetauscher
¶ 📚 Verwandte Knowledge Cards
[[Kontinuitätsgleichung]]
[[Reynolds-Zahl]]
[[Finite-Volumen-Methode]]
[[SIMPLE-Algorithmus]]
[[PISO-Algorithmus]]
[[OpenFOAM]]
[[Turbulenzmodelle]]
Ferziger & Perić — Computational Methods for Fluid Dynamics
Versteeg & Malalasekera — An Introduction to Computational Fluid Dynamics
Moukalled — The Finite Volume Method
Die Kontinuitätsgleichung liefert die Massenerhaltung.
Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Impulserhaltung.
Die Druckgleichung wird in vielen CFD-Verfahren indirekt über die Kontinuitätsbedingung bestimmt.
Die meisten technischen Anwendungen (HVAC, Schiffbau, Offshore, Brandschutz) können inkompressibel betrachtet werden.